Brouwers Intuïtionisme

Brouwers Intuïtionisme

Door dr. J.J.C. Kuiper.

Gedurende de negentiende eeuw maakte de wiskunde een snelle ontwikkeling door met spectaculaire resultaten. Een nieuwe en verrassende ontwikkeling werd bijvoorbeeld gevormd door de Verzamelingenleer van Georg Cantor, die gedurende de tweede helft van de negentiende eeuw het `oneindige’ aan een systematisch onderzoek onderwierp. Hij kon daarmee stellingen bewijzen die hij zelf nauwelijks te geloven vond, zoals het feit dat er `evenveel’ breuken als natuurlijke getallen zijn, ondanks het feit dat er tussen elke twee natuurlijke getallen oneindig veel breuken liggen.

Mèt deze ontwikkeling ontstond ook de behoefte aan een solide fundering van de wiskunde, vooral toen ontdekt werd dat eenvoudig te definiëren begrippen en solide lijkende bewijzen de invoering van niet-effectieve technieken met zich meebracht. Bijvoorbeeld de definitie van de machtsverzameling \mathcal{P}(A) van een verzameling A, dat is de verzameling van alle deelverzamelingen van A. Voor een eindige verzameling A is de vorming van \mathcal{P}(A) eenvoudig uit te voeren middels een algoritme, maar de vorming van bijvoorbeeld \mathcal{P}(\Bbb{N}), de machtsverzameling van de natuurlijke getallen \Bbb{N}, is onuitvoerbaar in de zin dat er geen werkzaam algoritme voor te geven is.

Ook Zermelo’s bewijs van de welordeningsstelling (elke verzameling kan welgeordend worden, d.w.z. zó geordend dat voor elke deelverzameling een eerste element aan te geven is) stuitte op kritiek wegens het noodzakelijke gebruik van het `keuzeaxioma’ , dat is het axioma dat bij elke verzameling B van verzamelingen een nieuwe verzameling gevormd kan worden met als elementen één gekozen element uit elk der elementen (die zelf dus verzamelingen zijn) van B. Problemen met de uitvoerbaarheid ontstaan hier wederom als B zelf een oneindige vezameling is of als de elementen van  B oneindig zijn.

Voor constructivisten zoals Kronecker waren begrippen en bewijzen als deze onaanvaardbaar en gezocht werd dan ook tegen het einde van de negentiende eeuw naar een fundament waarop de wiskunde opgebouwd kon worden.

De relevante stromingen hierbij zijn het Logicisme, het Formalisme en het Intuïtionisme.

Het Logicisme is een poging om de wiskunde op te bouwen vanuit de logica die dan dus als fundament dient. Deze poging werd ondernomen door Frege, Russell en Couturat. Frege was de grote logicus die de mathematische logica, na eerder werk van Boole en De Morgan, sterk uitbreidde en die vervolgens trachtte de hele wiskunde, te beginnen met de rekenkunde, uit deze logica af te leiden. In 1879 publiceerde hij zijn beroemde Begriffschrift.

Russell ontdekte dat uit de methode van Frege een paradox was af te leiden (in formulevorm: x\in x \Leftrightarrow x \not\in x), wat Frege’s poging deed stranden. Russell zelf trachtte dit te herstellen in zijn in 1903 gepubliceerde Principles of Mathematics, waar in hij zijn `typentheorie’ ontvouwde die moest voorkomen dat een verzameling zichzelf als element kon bevatten. Eerst moeten er objecten gedefinieerd of gevormd worden en pas daarna mag men uit die verkregen hoeveelheid keuzes maken om een verzameling te vormen.

Tussen 1910 en 1913 publiceerde hij samen met Whitehead de Principia Mathematica, hun magnum opus ter grondvesting van de wiskunde.

Het Formalisme is voornamelijk het werk van de grote Duitse wiskundige David Hilbert. Wiskunde is naar zijn idee een spel volgens formele consistente regels met inhoudsloze en betekenisloze symbolen, te vergelijken met, bijvoorbeeld, het schaakspel. Bij meetkundige begrippen als `punt’ of `lijn’ moet men aan niets concreets denken en niets visualiseren.

In 1900 hield Hilbert in Parijs op het Internationaal Wiskundig Congres een beroemd geworden lezing waarin hij 23 wiskundige problemen presenteerde die opgelost zouden moeten worden in de komende twintigste eeuw. Hij poneerde daar ook zijn `dogma’: elk wiskundig probleem is òf oplosbaar, òf er kan van bewezen worden dat het geen oplossing heeft.

De geometrie was bewezen consistent te zijn, uitgaande van de consistentie van de rekenkunde zoals geaxiomatiseerd door Peano, en deze laatste consistentie wilde Hilbert bewijzen. Een eerste aanzet daartoe werd gegeven op een volgend Internationaal Wiskundig Congres waar hij zijn Programma ontvouwde. Echter, nu weten we dankzij het werk van Kurt Gödel uit het begin van de dertiger jaren van de twintigste eeuw dat de Peano rekenkunde onvolledig is, d.w.z. dat er in deze rekenkunde stellingen bestaan die waar zijn maar die niet bewezen kunnen worden binnen het systeem van de Peano rekenkunde. De axioma’s van Peano zijn dus onvoldoende en zullen dat bij uitbreiding met aanvullende axioma’s ook blijven. Bovendien toonde Gödel aan dat de rekenkunde niet zijn eigen consistentie kan bewijzen.

Het pré-Intuïtionisme

Het begrip `intuïtie’ was al in gebruik in de wiskunde voordat Brouwer zijn intuïtionisme ontwikkelde. Bijvoorbeeld Henri Poincaré, in een polemiek met Russell en Couturat, stelde dat er meer vereist is voor de ontwikkeling van de wiskunde dan logica, en dat `meer’ is de intuïtie. Dit begrip definieert hij niet scherp, maar omschrijft het in algemene zin als een zintuiglijke voorstelling van wiskundige begrippen, gevolgd door abstractie van die begrippen. Specifieke wiskundige intuïtie is volgens hem het vermogen snel in te zien hoe een bepaald probleem aan te pakken en welke uitbreiding van het axiomastelsel een vruchtbaar resultaat zal geven. Intuïtie is het instrument van de uitvinding, waarmee nieuwe wegen gevonden kunnen worden. En hèt unieke `synthetische oordeel a priori’ van de wiskunde is het principe van `Volledige Inductie’, die ons doet gaan van het particuliere naar het algemene. Dit principe kan niet bewezen worden (wat Dedekind probeerde, daarbij in een cirkelredenering belandend) en hoeft niet middels een axioma geïntroduceerd te worden. Brouwer was het hier geheel mee eens, getuige één van zijn stellingen uit zijn dissertatie van 1907: `De geoorloofdheid der volledige inductie kan niet alleen niet worden bewezen, maar behoort ook geen plaats als afzonderlijk axioma of afzonderlijk ingeziene intuïtieve waarheid in te nemen. Volledige inductie is een daad van wiskundig bouwen, die in de oer-intuïtie der wiskunde reeds haar rechtvaardiging heeft.’.

Ook Emile Borel sprak zich vóór Brouwer reeds uit over intuïtie in de wiskunde. Voor hem is dit een met andere wiskundigen gedeelde beleving van een wiskundig object. Een wiskundig object is `reëel’ als we het voldoende kennen, als we erover kunnen spreken met andere wiskundigen, zonder kans op misverstand en met de zekerheid dat elke wiskundige daarbij hetzelfde beeld heeft.

Borel staat hierin al dichter bij Brouwer dan Poincaré.

L.E.J. Brouwer

Bij de ontwikkeling van de Intuïtionistische wiskunde staat één naam geheel op de voorgrond: Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) die tot de allergrootste Nederlandse wiskundigen behoort en zeker de grootste is van de twintigste eeuw. In 1904 legde hij zijn doctoraal examen wiskunde af aan de UvA, gevolgd door zijn promotie in 1907 met een proefschrift over de grondslagen der wiskunde. Hierin ziet men al duidelijke aanwijzingen welke kant hij bij zijn ontwikkeling op zal gaan, zij het dat een volledige technische uitwerking pas na 1917 zal komen. Na zijn promotie en aanstelling aan de UvA als lector, stort hij zich eerst op de nieuwe topologie, waarvan hij één van de grote voormannen zal worden. In 1912 wordt hij benoemd tot hoogleraar. Hij was overigens moeilijk in de omgang en had, zeker op jonge leeftijd, een pessimistische levensvisie.

Brouwers Intuïtionisme

Voor Brouwer is alle wiskunde gebouwd (sprekend over wiskunde hanteert hij veelvuldig termen als `bouwen’ en `gebouw’) op de oer-intuïtie van de tijdsbeleving; van hieruit wordt op strict-constructivistische wijze de gehele wiskunde gevormd.

Waar het logicisme het als grondslag voor de wiskunde al eerder af had laten weten door de paradoxen die uit deze benadering naar voren kwamen (de Russell paradox die Frege’s poging teniet deed), brak rond 1920 een grondslagenstrijd los tussen het Formalisme van Hilbert met zijn `programma’ tot een volledige en consistente axiomatisering van de wiskunde (die na 1930 door de onvolledigheidsstellingen van Gödel niet mogelijk bleek te zijn) en het intuïtionisme van Brouwer, die hierbij Hilbert’s leerling Hermann Weyl aan zijn zijde kreeg.

De Oer-intuïtie van de wiskunde

Terwijl Kant twee categorieën nodig heeft ter fundering van de wiskunde (nl. die van Ruimte en Tijd) is voor Brouwer de oer-intuïtie van de tijdsbeleving voldoende. De meetkunde, die bij Kant nog de Ruimte categorie nodig heeft, kan volgens Brouwer zonder deze aparte categorie, dankzij de ontwikkeling van de analytische meetkunde door Descartes. Brouwer verwijst hier expliciet naar in zijn inaugurale rede uit 1912:

`Hiermede echter zijn op grond van de aprioriteit van de tijd niet slechts de eigenschappen der rekenkunde als synthetische oordelen a priori gekwalificeerd, doch ook die der meetkunde, (…). Immers sinds Descartes heeft men achtereenvolgens al deze geometrieën door middel van coördinatenrekening op de rekenkunde laten terugvoeren.’

(Men kan zich afvragen waarom Kant deze reductie niet zelf uitgevoerd heeft.)

Brouwers oer-intuïtie is de ervaring door de mens van twee gebeurtenissen die niet samenvallen. De mens in zijn oorspronkelijke staat (een door Brouwer geïdealiseerde oer-toestand, zoals verwoord in zijn serie lezingen Leven, Kunst en Mystiek uit 1905) ervaart een gebeurtenis en later nog een gebeurtenis, gescheiden van de eerste door een eveneens ervaren maatloos tijdsverloop. Het wezenlijke hierbij is het herkennen dat de twee gebeurtenissen niet samenvallen. Geabstraheerd van alle inhoud van die ervaringen vormt dit precies de oer-intuïtie. De als eenheid opgevatte combinatie `gebeurtenis — tijdspanne — gebeurtenis’ kan vervolgens gezien worden als één gebeurtenis, waaraan een nieuwe ervaring toegevoegd kan worden, gescheiden in tijd van de eerste combinatie.

Deze herhaalde ervaring levert op een natuurlijke wijze de sequentie van de natuurlijke getallen \Bbb{N}, die vervolgens benoembaar zijn. De breuken (de verzameling der rationale getallen \Bbb{Q}) zijn uit deze oer-intuïtie binair als volgt op te bouwen: wij kunnen de tijdservaring tussen twee gebeurtenissen opvatten als een nieuwe gebeurtenis, een nieuwe ervaring, gescheiden van elk van de twee reeds gescheiden ervaringen. Dit geeft ons, tussen het eerste en het tweede natuurlijke getal, de breuk \frac{1}{2}. Dit gebroken getal ligt niet halverwege de eerste en de tweede ervaring, want er is geen `halverwege’; er is alleen maar de ervaring van een tijdsverloop, die pas ontstaat na de ervaring van de tweede gebeurtenis.

Op deze wijze doorgaand (en tè beknopt weergegeven, zo realiseert de schrijver zich), waarbij steeds een nieuwe ervaring (in de vorm van een gebeurtenis of een tijdsspanne) beleefd wordt die gescheiden is van alle voorgaande ervaringen, ontstaat het systeem \Bbb{Q} in binaire vorm.

Het Continuüm

Ook dit begrip komt voort uit deze oer-intuïtie. Het continuüm ontstaat in de ervaring van het gescheiden zijn van twee ervaringen. Het continuüm IS de scheiding tussen de twee gebeurtenissen. Het is een wiskundige act van de individuele mathematicus om alle op deze wijze gevormde continua identiek aan elkaar te verklaren. Dit vormt het `Intuïtieve Continuüm’. Dit intuïtieve continuüm is dus niet opgebouwd uit punten, er kunnen slechts punten op geconstrueerd worden. Dit, tezamen met de geconstrueerde getallen 0 en 1, kunnen we ook begrijpen als: tussen 0 en 1 ligt een continuüm, maar dat bestaat niet uit alle breuken plus alle irrationalen tussen 0 en 1. Die getallen kunnen we daarop construeren, maar ze zijn er niet van nature.

Deze op de oer-intuïtie gebaseerde constructie van het continuüm stamt uit Brouwers dissertatie uit 1907, maar in zijn latere werk zal hij herhalen dat hij deze constructie nog steeds als geldig beschouwt. Wel komt daar later het `Volle Continuüm’ bij als het geheel van alle reële getallen in de vorm van keuzerijen (zie hieronder). Het systeem van de reële getallen is een uitbreiding van dat van de rationale getallen met de irrationale, dat zijn de getallen met oneindig veel decimalen `achter de komma’, zonder dat hierin een zich steeds herhalend patroon in de ontwikkeling daarvan optreedt waardoor het als breuk te schrijven zou zijn. Bekende voorbeelden hiervan zijn de getallen \pi, \sqrt{2} en \sqrt{3}. Maar let wel, dit zijn dus irrationale getallen die te construeren zijn volgens een bepaald algoritme. Het bestaan van `willekeurige irrationalen’ wordt in 1907 nog uitdrukkelijk uitgesloten.

Brouwers strict constructivisme

Door deze constructies van de getallen is het hele gebouw van de wiskunde op `natuurlijke wijze’ te vormen. Het postuleren van axioma’s voor de ontwikkeling van de analyse wordt daarmee overbodig. Het voert te ver om dit op deze plaats verder geheel uit te werken. Belangrijk is het om hier te benadrukken dat voor Brouwer de wiskunde een zuiver geestelijke en taalloze activiteit is van de individuele mens. Taal is hierin slechts een zeer gebrekkig hulpmiddel ter eigen memorie en voor het met anderen spreken hierover. Echter, we kunnen in dit laatste geval nooit met zekerheid weten of een ander dan dezelfde mentale constructie zal maken. Intersubjectiviteit is bij zijn benadering van de wiskunde een probleem, waarvoor later verschillende oplossingen voorgesteld zijn.

Omdat Brouwer zich bij de opbouw van de wiskunde tot een strict constructivisme beperkt, levert dit facetten en eigenschappen op die de intuïtionistische wiskunde een eigen karakter geven, verschillend van de klassieke wiskunde. Er zijn enerzijds grote beperkingen, maar anderzijds komt er een veel `rijker’ continuüm tevoorschijn, met veel meer relaties tussen de daarop geconstrueerde getallen dan bij de klassieke wiskunde.

Enkele voorbeelden van consequenties van de intuïtionistische en constructivistische opbouw van de wiskunde:

1. Het `oneindige’.

Een eindige verzameling is volgens een algoritme in eindig veel stappen op te bouwen. De verzameling van de natuurlijke getallen \Bbb{N} wordt door Brouwer ook geaccepteerd als één geheel omdat deze verzameling volgens één enkelvoudig algoritme, namelijk de `opvolger-operatie’, te vormen is, ook al is die constructie nooit af. We mogen haar echter als `af’ beschouwen en daardoor mag ook met de vorming van elementen van de `tweede getalklasse’ begonnen worden. Dit is de klasse van getallen die nà die van de natuurlijke getallen komt. De eerste getalklasse \Bbb{N} heeft dus geen grootste getal maar de tweede getalklasse heeft wel een kleinste getal, namelijk \omega. Echter, deze tweede getalklasse is, net zoals de eerste, nooit af en mag, in tegenstelling tot \Bbb{N}, ook nooit als af beschouwd worden omdat deze niet volgens één enkelvoudige operatie te vormen is. Daardoor zijn de enige cardinaliteiten (grootten van verzamelingen) die Brouwer accepteert de `eindige’, de `aftelbaar oneindige’ en de `aftelbaar oneindig onaffe’, dat is de cardinaliteit van de tweede getalklasse, waarvan het bestaan logisch consistent is en in overeenstemming is met de stelling van Skolem-Löwenheim, die zegt dat, als een aftelbare eerste-orde theorie een oneindig model heeft (zoals dat het geval is bij de Peano rekenkunde), deze theorie dan voor elk oneindig kardinaalgetal \kappa ook een model van grootte \kappa heeft.

Verder wordt het continuüm ook als een cardinaliteit opgevat, maar die is niet opgebouwd uit afzonderlijke punten.

2. Brouwer wijst het `principe van de uitgesloten derde’ af als zijnde niet-constructivistisch. Dus ook bewijzen die van dit principe gebruik maken worden afgewezen. Als voorbeeld hiervan de aardige (klassieke) oplossing van de volgende vraag: bestaan er twee irrationale getallen a en b, zodat a^b rationaal is? Oplossing: neem het irrationale getal \sqrt 2, en beschouw

\sqrt{2}^{\sqrt{2}}

Dit is, klassiek gezien, òf rationaal òf irrationaal, al weten we niet welke van de twee het geval is. Welnu, is het rationaal dan zijn we klaar. Is het daarentegen irrationaal, dan is in elk geval

\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^2=2

rationaal. En dit, zegt Brouwer, is een ongeldig bewijs. Het principe van de uitgesloten derde mag alleen gebruikt worden als aangegeven kan worden welk van de twee mogelijkheden het geval is, of als er tenminste een algoritme is dat in eindig veel stappen tot een beslissing voert. Let wel, bij eindige verzamelingen geldt het principe dus wel, we kunnen immers bij een uitspraak a \vee b in eindig veel stappen nagaan welke van de twee, a of b, het geval is.

3. Een ander voorbeeld van dit `tertium non datur’ is het `reductio ad absurdum’: stel ik wil een bewering A bewijzen. Neem nu eens aan dat niet-A geldt, ofwel, in symbolische notatie: de bewering A\longrightarrow \bot is juist. Leidt dit tot een contradictie, dan heb ik dus bewezen

\{A\longrightarrow \bot\}\longrightarrow \bot \hspace{5pt}= \neg A\longrightarrow \bot = \neg\neg A

en dat is, klassiek gezien, gelijk aan A, immers A \vee\neg A geldt altijd.

Maar, aldus Brouwer, we hebben slechts bewezen dat \neg\neg A, dus dat de aanname \neg A tot een contradictie leidt en dat is géén constructief bewijs voor A.

Om dit laatste aan te tonen heeft hij een techniek van tegenvoorbeelden ontwikkeld, die gebruik maakt van onopgeloste wiskundige problemen, zoals bijvoorbeeld de vraag of er in de decimale ontwikkeling van \pi de sequentie 0123456789 voorkomt. (Dit was in Brouwers dagen onbekend; inmiddels is bekend dat die rij voorkomt.) Laten we, als voorbeeld van de onjuistheid van A of niet-A, de bewering `elke juist gedefinieerde verzameling is eindig of oneindig’ onderzoeken. We definiëren de verzameling {a1, a2, a3, …} als volgt: a_n=(\frac{1}{2})^n, zolang bij de n^e plaats in de decimale ontwikkeling van \pi de reeks 0123456789 niet voor de eerste maal eindigt; eindigt deze sequentie bij n=k, dan is a_k=\frac{1}{2}^k en stopt de ontwikkeling. Is de verzameling nu eindig? Nee, want dat mogen we alleen zeggen als aangetoond is dat de genoemde reeks getallen optreedt in de ontwikkeling van \pi. Oneindig dan? Dit is ook niet het geval, want voor die uitspraak moet bewezen zijn dat die reeks nooit optreedt en dat is ook niet het geval. De verzameling is dus noch eindig, noch oneindig! Merk op dat deze bewijsvoering geheel afhankelijk is van Brouwers constructivistische opvatting en van de afwijzing van het `tertium non datur’.

4. Ook het `ex falso sequitur quodlibet’ geldt intuïtionistisch gezien niet als bewijsmethode. Dit principe zegt \bot\longrightarrow B voor elke bewering B (ofwel `uit een tegenspraak volgt alles’). Voor een conclusie A\longrightarrow B moet eerst A geconstrueerd worden en vervolgens, daarvan uitgaande, moet middels een wiskundige constructie B gevormd worden. Maar `falsum’ \bot, dat is de bewering A\wedge\neg A, ofwel: A èn niet-A zijn beide waar, kan nooit het resultaat van een wiskundige constructie zijn!

Een aparte vermelding verdient nog Brouwers opvatting over de logica als geformaliseerde redenering en bewijsvoering: de wiskunde kan nooit op logica gebaseerd zijn omdat er eerst iets moet zijn om logica mee te bedrijven. Dus eerst een wiskunde opbouwen alvorens er logica gepleegd kan worden.

Brouwers leerling Heyting heeft overigens later een intuïtionistische logica ontwikkeld die Brouwers goedkeuring kon wegdragen. In deze intuïtionistische logica zijn goede argumenten te geven die het ex-falso principe wèl geldig maken.

Volledige ontwikkeling van de Intuïtionistische Wiskunde

Na zijn succesvolle bijdrage aan de ontwikkeling van de nieuwe topologie, die hem internationale faam bracht, wijdde Brouwer zich na 1917 aan de ontwikkeling van de Intuïtionistische analyse, d.w.z. de analyse, gebaseerd op de boven geschetste oer-intuïtie en vervolgens opgebouwd op strict constructivistische wijze met uitdrukkelijke uitsluiting van het `tertium non datur’.

Maar als hij een volledige intuïtionistische analyse wil ontwikkelen, kan hij niet om het begrip `willekeurig irrationaal getal’ en het bovengenoemde `volledig continuüm’ heen. De oplossing die hij daarvoor vindt zijn de `keuzerijen’: de constructie van een willekeurig (d.w.z. niet volgens een algoritme) irrationaal getal bestaat uit een altijd doorgaande vrije keuze voor elke volgende decimaal. Een irrationaal getal is dus nooit af, het is een nimmer-terminerend creatief proces van vrije keuzes. Maar dit heeft voor Brouwer als constructivistisch mathematicus een belangrijke consequentie: wil een functie voor een dergelijke vrije keuzerij een functiewaarde hebben, dan moet die functiewaarde in eindig veel stappen, d.w.z. na eindig veel vrije keuzes voor de variabele, bepaald kunnen worden. Houdt men aan deze regel vast, dan is vervolgens vrij eenvoudig te bewijzen dat elke reële functie op een gesloten interval uniform continu moet zijn. Een zeer bijzonder resultaat!

De ontvangst van deze intuïtionistische wiskunde was overigens zeer divers. David Hilbert moest er niets van hebben, terwijl diens leerling Hermann Weyl zeer enthousiast was. Maar deze nieuwe tak van wiskunde heeft zeker grote invloed gehad op de later ontwikkelde computerwetenschap.

Auteur: dr. J.J.C. Kuiper (promoveerde in 2004 op het proefschrift Ideas and Explorations : Brouwer’s Road to Intuitionism).


Fatal error: Call to undefined function adrotate_group() in /home/p17385/domains/worldforthinkers.com/public_html/wp-content/themes/EarthlyTouch/single.php on line 57